Resumen/Análisis de los "Tres problemas clásicos griegos (Imposibilidad de resolución con regla y compás)"

 
RESUMEN
En resumen, el texto aborda la historia y los intentos de resolver los tres problemas clásicos griegos: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Se remonta a las festividades en la isla de Delos en el siglo VII a.C., donde se cree que surgieron o se difundieron estos problemas. Destaca el desafío que representaban estos problemas y la metodología griega de resolverlos exclusivamente con regla y compás. A pesar de los esfuerzos de los matemáticos griegos, no lograron resolverlos dentro de estos límites. Se discute la importancia histórica de estos problemas como ejemplos del método deductivo griego y se señala cómo los enfoques modernos han cambiado, permitiendo soluciones algebraicas. El texto también ofrece ejemplos de resolución parcial de estos problemas mediante métodos geométricos y algebraicos, así como aproximaciones de pi (π) a lo largo de la historia. Además, se explora la utilización de lúnulas y polígonos para aproximarse a la cuadratura del círculo.

BREVE HISTORIA DE LOS TRES PROBLEMAS

La historia de los tres problemas clásicos griegos se remonta a las reuniones festivas en la isla de Delos en el mar Egeo, donde los griegos jonios se congregaban para celebrar la llegada de la primavera en honor a los dioses Apolo y Artemisa. Durante estas festividades, conocidas como Delias, se realizaban importantes ferias comerciales que propiciaban el intercambio de productos entre diferentes regiones griegas.

Fue en este contexto donde surgieron y se difundieron los tres problemas clásicos: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. El más famoso de ellos, relacionado con el oráculo de Delos, era el de la duplicación del cubo, que se representó en la literatura de la época a través de leyendas como la de Eurípides.

La trisección del ángulo, que buscaba dividir un ángulo en tres partes iguales solo con regla y compás, también se hizo popular en la misma época. Finalmente, el problema de la cuadratura del círculo desafiaba la construcción de un cuadrado con área igual a la de un círculo dado, implicando la determinación del valor de π.

Estos problemas se difundieron gracias al intercambio de información en las Delias, y se impuso la condición de resolverlos exclusivamente con regla y compás. Aunque algunos matemáticos griegos encontraron soluciones utilizando métodos geométricos y mecánicos diferentes, estas no fueron consideradas válidas por no cumplir con las hipótesis establecidas.

Consideraciones sobre los problemas:

Primera: Los problemas solo permitían la utilización de la regla y el compás, y los griegos no lograron resolverlos con estos medios. Con regla y compás solo se pueden trazar rectas y circunferencias, lo que limita la resolución de problemas a ecuaciones de primer y segundo grado en geometría analítica. La cuestión radica en determinar si ciertas soluciones, como la duplicación del cubo, son constructibles. Los griegos no pudieron determinar esto debido a las limitaciones de la geometría griega y la dificultad de saber si la solución era imposible de construir o si faltaba una idea ingeniosa para resolver el problema.

Segunda: ¿Por qué problemas sin solución ocupan un lugar importante en la historia de las matemáticas? Esto se debe a que reflejan el método deductivo de los griegos y su exigencia de resolver problemas dentro de un marco teórico adecuado, respetando principios y medios de deducción. Aunque los griegos no pudieron resolverlos, esto no indica que fueran malos matemáticos. Hoy en día, se considera que estos problemas tienen soluciones algebraicas, lo que refleja un cambio en el punto de vista sobre lo que se acepta como solución. Se ha ampliado el enfoque para aceptar soluciones más allá de las restricciones de regla y compás, similar a cómo se amplía el punto de vista en el problema de los cuadrados con cerillas.

La trisección del ángulo:

A1.- Si bien la trisección del ángulo no se pudo resolver con regla y compás en todos los casos, es posible trisecar el ángulo recto utilizando solo regla y compás.

A2.- De manera similar, se puede trisecar el ángulo de 180º y el de 45º con regla y compás.

A3.- Se puede demostrar que el ángulo interior de un pentágono regular puede trisecarse utilizando regla y compás. Esto se puede verificar midiendo los ángulos formados por las diagonales que parten de un mismo vértice del pentágono.

Para resolver el problema de la trisección del ángulo, Arquímedes ideó un método que implicaba la utilización de una semicircunferencia y una varilla de longitud mayor que 3 veces el radio de la semicircunferencia. Mediante este método, se demostró que es posible trisecar cualquier ángulo.

Nicomedes también contribuyó al problema de la trisección del ángulo mediante una curva trisectriz, que se construye utilizando proyecciones ortogonales y paralelas.

Además de estos métodos, se han desarrollado otros enfoques para trisecar ángulos a lo largo de la historia de las matemáticas. Por ejemplo, se ha utilizado la suma de una serie infinita y se han diseñado aparatos específicos, como el trisector, para lograr la trisección de ángulos.

Problema: ¿Se puede trisecar un ángulo cualquiera representado en un círculo de radio R con un sector circular de 120º y radio 3R?

LA DUPLICACIÓN DEL CUBO

El problema de la duplicación del cubo se resolvió generalizando la forma de encontrar un lado x del cuadrado con el doble del área de otro lado a. Para resolverlo, se inserta un medio proporcional entre a y 2a, lo que significa encontrar un valor x tal que x^2 =a×2a, lo que da como resultado x=a√2.

La inserción de una media proporcional entre dos valores a y b se realiza mediante la construcción de una semicircunferencia con diámetro a+b, donde se levanta una perpendicular en el punto donde a se une a b. El segmento resultante es el medio proporcional entre a y b.

El problema de la duplicación del cubo se abordó de manera similar, demostrando que encontrar el lado x de un cubo cuyo volumen sea 2a^3 era equivalente a determinar dos medios proporcionales entre a y 2a. Esto se puede demostrar en un problema donde se demuestra que encontrar x es lo mismo que insertar dos medios proporcionales entre a y 2a.

Eratóstenes inventó un aparato mecánico llamado mesolabio que permitía insertar dos medios proporcionales entre dos valores dados. Consiste en tres triángulos rectángulos iguales que se pueden desplazar horizontalmente sobre guías paralelas. Si se toma SA=2a, LG=a, y se desplazan los triángulos a una posición específica, se cumple una relación entre las longitudes de los segmentos involucrados.

LA CUADRATULA DEL CÍRCULO

La cuadratura del círculo implica, en términos matemáticos, encontrar un cuadrado con un área igual a la del círculo dado. Para los matemáticos griegos, cuadrar una figura implicaba construir un cuadrado con la misma área que la figura dada. Por lo tanto, cuadrar el círculo significa construir, a partir de su radio, un cuadrado con la misma área que el círculo.

Los griegos tenían conocimientos sobre cómo cuadrar polígonos, lo que implicaba encontrar figuras con la misma área que las dadas. Utilizaban métodos como la división de la base y la inserción de medias proporcionales para construir rectángulos y cuadrados equivalentes a figuras dadas. Este conocimiento les permitía cuadrar cualquier polígono de n lados mediante un proceso iterativo.

En relación con el problema de la cuadratura del círculo, los griegos exploraron tres enfoques diferentes: la cuadratura de figuras de contorno curvo, la limitación del valor de π, y la búsqueda de curvas que valieran π para una abscisa dada. Estas investigaciones reflejan los esfuerzos de los matemáticos griegos por resolver uno de los problemas clásicos más desafiantes.

 

 

LOS GRIEGOS SABÍAN CUADRAR LÚNULAS.

El método de Hipócrates para cuadrar lúnulas fue retomado por Eudemo de Rodas, quien vivió alrededor del 320 a.C. y era discípulo de Aristóteles. Eudemo escribió una Historia de la Geometría, que lamentablemente se perdió, pero se conservan algunos fragmentos gracias a Simplicio, un comentarista de Aristóteles del siglo VI d. C.

Hipócrates de Quios abordó el problema de la cuadratura del círculo a través de la cuadratura de lúnulas. Otros matemáticos griegos como Antifon de Atenas e Dinóstrato utilizaron métodos diferentes, como inscribir polígonos en el círculo o emplear la curva trisectriz de Hipias de Elis para encontrar un segmento de longitud π.

Para ilustrar estos métodos, se presentan problemas que demuestran la igualdad de áreas entre lúnulas construidas sobre triángulos rectángulos y los propios triángulos. Estas lúnulas son cuadrables utilizando la regla y el compás, ya que su área es equivalente a la de un triángulo, lo que permite la construcción de un cuadrado de igual área.

Además, se plantea un problema sobre un hexágono regular inscrito en una circunferencia, donde se demuestra que la suma de las áreas de cuatro lúnulas es proporcional al área del hexágono.

UNA DEDUCCIÓN CURIOSA Y ERRÓNEA:

Suponiendo que todas las lúnulas se podían cuadrar, se creía que el problema de la cuadratura del círculo estaba resuelto. Eudemo presentó un razonamiento en el que argumentaba que, al restar seis lúnulas de un hexágono inscrito en un círculo, se obtenía un círculo más pequeño, lo que sugería que el círculo grande también podría ser cuadrado. Sin embargo, este razonamiento contenía un error, ya que no todas las lúnulas son cuadrables y su valor depende de π.

Para ilustrar esto, se plantea un problema en el que se divide una circunferencia en seis partes iguales y se calcula el área de la parte sombreada entre dos arcos de circunferencia y un segmento de radio. Se demuestra que esta área no es cuadrable según la definición griega.

Las lúnulas son consideradas cuadrables si su área puede expresarse como la de un polígono o una fracción del mismo sin la necesidad de π. Sin embargo, si el número π es necesario para expresar su área, como en el caso de la circunferencia, entonces no son cuadrables según la perspectiva griega.

LOS GRIEGOS HICIERON BUENAS APROXIMACIONES DE π

Con el método de aproximación de π mediante polígonos inscritos y circunscritos fue introducido por Antifon y perfeccionado por Arquímedes. Sin embargo, su simplicidad fue criticada por Aristóteles. Con el advenimiento del álgebra, matemáticos posteriores lograron aproximaciones más precisas de π. Utilizando polígonos con un número creciente de lados, se desarrollaron fórmulas que se acercaban a π. Se plantean problemas para aproximar π utilizando diferentes polígonos.

LOS GRIEGOS UTILIZARON CURVAS PARA DETERMINAR π

Utilizaban el método de la trisectriz de Hipias ofrece una forma de dividir un ángulo en tres partes iguales mediante un proceso de movimiento de segmentos. Esta curva trisectriz también se conoce como cuadratriz y puede ser utilizada para calcular π y abordar la cuadratura del círculo. Un problema planteado es cómo construir un cuadrado con área equivalente a la de un círculo de radio unidad, utilizando una aproximación racional de π.